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Funciones Elementales

Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de alguna de los siguientes conjuntos:

  1. Conjunto de funciones polinómicas
  2. Función exponencial
  3. Funciones trigonométricas

Mediante alguna de las siguientes operaciones

  1. Operaciones de álgebra elemental (suma, resta, multiplicación, división) entre funciones de los anteriores conjuntos
  2. Composición de funciones elementales de los anteriores conjuntos
  3. Recíproco de funciones elementales (dada una función elemental su recíproca también es elemental por definición).
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Funciones explícitas e implícitas

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. Una fórmula explícita tiene la forma:

y=f(x)

que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:

f(x,y)=0

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso las funciones implícitas son aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita. Por ejemplo la función:

y^5−2xy^2+1=0

no puede ser expresada de forma explícita:

y=f(x)

• Una función es implícita si no puede ser expresada de forma explícita.

• Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no está despejada respecto a la variable independiente.

Funciones algebraicas

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

  • Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos).
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    Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen:
    Función constante: f(x)= a
    Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado.
    Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.
    • Funciones racionales que son cocientes entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:
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Funciones Radicales La función raíz n-ésima (leáse "raíz ene-ésima") es la función inversa de la función elemental de potenciación. Y en tanto que inversa de un tipo de función elemental la función raíz es también una función elemental. Si en una función, la variable independiente está bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no esté, esa función es irracional, por ejemplo:

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Si tenemos la función:

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la variable independiente, x, está bajo el signo de radicación, pero podemos ver que:

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con lo que obtenemos una función no irracional.

Función Inversa

Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.

Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.

Propiedades 1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:

P31

2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.

P2

3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad. 4. La función inversa no siempre existe. 5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial. 6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

Función Exponencial

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

E(x)=K⋅a^x


Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Función Logarítmica

Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. 

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

  • La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+). 
  • Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R. 
  • En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base. 
  • La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. 
  • Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Referencia:

Article title: Clasificación de funciones
Website title: Ditutor.com
URL: https://www.ditutor.com/funciones/funcion_clasificacion.html

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Definición de Variable